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名師大咖面對(duì)面,有問(wèn)有大收獲多。管綜聯(lián)考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo):數(shù)列之無(wú)敵解法
四、已知數(shù)列通項(xiàng)公式A(N),求數(shù)列的前N項(xiàng)和S(N)。
這個(gè)問(wèn)題等價(jià)于求S(N)的通項(xiàng)公式,而S(N)=S(N-1) A(N),這就成為遞推數(shù)列的問(wèn)題。
解法是尋找一個(gè)數(shù)列B(N),
使S(N) B(N)=S(N-1) B(N-1)
從而S(N)=A(1) B(1)-B(N)
猜想B(N)的方法:把A(N)當(dāng)作函數(shù)求積分,對(duì)得出的函數(shù)形式設(shè)待定系數(shù),利用B(N)-B(N-1)=-A(N)求出待定系數(shù)。
例題1:求S(N)=2 2*2^2 3*2^3 ... N*2^N
解:S(N)
=S(N-1) N*2^N
N*2^N積分得(N*LN2-1)*2^N/(LN2)^2
因此設(shè)B(N)=(PN Q)*2^N
則 (PN Q)*2^N-[P(N-1) Q)*2^(N-1)=-N*2^N
(P*N P Q)/2*2^N=-N*2^N
因?yàn)樯鲜绞呛愕仁?,所以P=-2,Q=2
B(N)=(-2N 2)*2^N
A(1)=2,B(1)=0
因此:S(N)=A(1) B(1)-B(N)=(2N-2)*2^N 2
例題2:A(N)=N*(N 1)*(N 2),求S(N)
解法1:S(N)為N的四次多項(xiàng)式,
設(shè):S(N)=A*N^4 B*N^3 C*N^2 D*N E
利用S(N)-S(N-1)=N*(N 1)*(N 2)
解出A、B、C、D、E
解法2:
S(N)/3!=C(3,3) C(4,3) ...C(N 2,3)=C(N 3,4)
S(N)=N*(N 1)*(N 2)*(N 3)/4
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