方差的概念與計(jì)算公式

例1 ：兩人的5次測(cè)驗(yàn)成績(jī)?nèi)缦拢?

X： 50，100，100，60，50 E(X )=72;

Y： 73， 70， 75，72，70 E(Y )=72。

平均成績(jī)相同，但X 不穩(wěn)定，對(duì)平均值的偏離大。

方差描述隨機(jī)變量對(duì)于數(shù)學(xué)期望的偏離程度。

單個(gè)偏離是消除符號(hào)影響

方差即偏離平方的均值，記為D(X )：

直接計(jì)算公式分離散型和連續(xù)型，具體為：

這里 是一個(gè)數(shù)。推導(dǎo)另一種計(jì)算公式

得到：“方差等于平方的均值減去均值的平方”。

其中，分別為離散型和連續(xù)型計(jì)算公式。 稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差，方差描述波動(dòng)。

方差的性質(zhì)

1.設(shè)C為常數(shù)，則D(C) = 0(常數(shù)無波動(dòng));

2. D(CX )=C2 D(X ) (常數(shù)平方提取);

證：

特別地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )(方差無負(fù)值)

3.若X 、Y 相互獨(dú)立，則

證：

前面兩項(xiàng)恰為 D(X )和D(Y )，第三項(xiàng)展開后為

當(dāng)X、Y 相互獨(dú)立時(shí)，

故第三項(xiàng)為零。

特別地

獨(dú)立前提的逐項(xiàng)求和，可推廣到有限項(xiàng)。

方差公式：

平均數(shù)：M=(x1 x2 x3 … xn)/n (n表示這組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，x1、x2、x3……xn表示這組數(shù)據(jù)具體數(shù)值)

方差公式：S2=〈(M-x1)2 (M-x2)2 (M-x3)2 … (M-xn)2〉╱n

常用分布的方差

1.兩點(diǎn)分布

2.二項(xiàng)分布

X ~ B ( n, p )

引入隨機(jī)變量 Xi (第i次試驗(yàn)中A 出現(xiàn)的次數(shù)，服從兩點(diǎn)分布)

3.泊松分布(推導(dǎo)略)

4.均勻分布

5.指數(shù)分布(推導(dǎo)略)

6.正態(tài)分布(推導(dǎo)略)

7.t分布 :其中X~T(n)，E(X)=0;D(X)=n/(n-2);

8.F分布：其中X~F(m,n),E(X)=n/(n-2);

正態(tài)分布的后一參數(shù)反映它與均值 的偏離程度，即波動(dòng)程度(隨機(jī)波動(dòng))，這與圖形的特征是相符的。

例2 求上節(jié)例2的方差。

解 根據(jù)上節(jié)例2給出的分布律，計(jì)算得到

工人乙廢品數(shù)少，波動(dòng)也小，穩(wěn)定性好。

方差的定義：

設(shè)一組數(shù)據(jù)x1,x2,x3······xn中，各組數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)x(拔)的差的平方分別是(x1-x拔)2，(x2-x拔)2······(xn-x拔)2，那么我們用他們的平均數(shù)s2=1/n【(x1-x拔)2 (x2-x拔)2 ·····(xn-x拔)2】來衡量這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差。

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